www.humanisti.sk
Súťaž o knihu
Webhouse.sk
Podporujeme
Spoločnosť PrometheusEthos – občianske združenie so zameraním na etiku, humanizmus a sekularizmusHumanisti Slovenska – občianske združenieZošity humanistovVladislav Marušic – ALTERNATÍVAAteisti Českej republiky Voľná myšlienka v ČeskuThe BrightsAdam Roman
Spolupracujeme
Slovenské súťaže.skNAJsúťaže.skeSúťaže.skKochlear.czÚnia nevidiacich a slabozrakých SlovenskaEurobabička Českej a Slovenskej republikyHoax.skdTest
Iné médiá
Adresa redakcie
e-mailová adresa redakcie
Internetový čas
Internet time: @896
Počítadlo


Spam poison

Buridanov somár

A axióma výberu

Známa scholastická slovná hra z prvej polovice 14. storočia, ktorá je pomenovaná po francúzskom filozofovi Jeanovi Buridanovi, profesorovi a rektorovi parížskej univerzity, sa zaoberá problémom voľby a tvrdí:

Somár stojací uprostred medzi dvoma celkom rovnakými kôpkami sena (viď obr.) zahynie hladom, pretože sa nemôže do žiadnej z nich zahryznúť ako do prvej. K tomu, aby si totiž mohol jednu z týchto dvoch kôpok vybrať, museli by sa v niečom líšiť! Pokiaľ sa však vôbec v ničom neodlišujú, nemá somár možnosť voľby, nemôže dať jednej z nich prednosť a čaká ho tragický koniec.

Buridanov somár

Otázka výberu, aj keď čiastočne v inej rovine, sa vyskytuje i v matematike. Ukážeme si túto problematiku na nasledujúcom príklade.

Vytvorme pre každé reálne číslo x množinu Ax všetkých čísel x + a, kde a prebieha všetky racionálne čísla: Ax = {x + aa ∈ Q}. Ukáže, že pre každé takéto množiny Ax, Ay platí: pokiaľ je číslo xy racionálne, sú si obe množiny rovné; ak je xy iracionálne, nemajú množiny Ax, Ay spoločný prvok.

Predpokladajme najprv, že o daných množinách

Ax = {x + aa ∈ Q}, Ay = {y + bb ∈ Q}

platí, že číslo xy je racionálne, t. j. že xyQ. Ukážeme, že je Ax = Ay. Zvoľme si ľubovoľné číslo x + aAx; vzhľadom k tomu, že x + a = y + (xy + a), kde číslo xy + a je racionálne, je tiež x + aAy, čo znamená, že je AxAy. Rovnakým spôsobom môžeme ukázať, že platí takisto AyAx.

Dokázali sme tak prvú časť vyššie uvedeného tvrdenia: xyQ => Ax = Ay. Ukážeme teraz, že platí i druhá časť, t. j. xyQ => AxAy = ∅.

Dôkaz prevedieme sporom.

Nech xy je iracionálne číslo a nech existuje reálne číslo z tak, že zAxAy.

Je teda zAx, čo znamená, že existuje aQ tak, že je z = x + a; je takisto zAy, odkiaľ vyplýva, že existuje bQ tak, že je z = y + b.

Z týchto dvoch rovností dostávame

xy = (za) − (zb) = ba,

čo nie je možné: číslo ba je racionálne a číslo xy je iracionálne. Tým je dôkaz prevedený.

Podľa toho, čo sme dokázali, tvoria všetky takto zostrojené množiny Ax systém {Ax}, ktorého každé dva rôzne prvky sú množiny disjunktné.

Položme si teraz otázku, či je možné z každej množiny tohto systému vybrať práve jeden prvok, t. j. či existuje množina, ktorá má s každou množinou daného systému jediný prvok spoločný. Hoci intuitívne cítime, že taká množina by mala existovať, nepodarí sa nám ju zostrojiť, nech sa o to snažíme akokoľvek. Nie je možné totiž povedať, akým spôsobom sa má konštrukcia tejto množiny previesť, pretože jednotlivé množiny Ax nie sú definované spôsobom, ktorý by umožnil stanoviť nejaké explicitné pravidlo pre výber prvkov tejto „výberovej množiny“. Pritom množiny tohto typu sú veľmi dôležité, lebo na ich existencii sú založené niektoré matematické dôkazy, a to nielen v teórii množín.

V prvom období po vzniku teórie množín sa táto výberová množina v jednotlivých prípadoch mlčky predpokladala; jej existencia bola považovaná za samozrejmú, lebo bola za samozrejmú považovaná aj možnosť, že z každej z daných množín daného systému je možné vždy vybrať po jednom prvku. Toto presvedčenie vyplývalo z nekritického prístupu k nekonečným množinám, o ktorých sa podvedome predpokladalo, že s nimi je možné prevádzať tie isté operácie, ktoré sa dajú prevádzať s množinami konečnými: ak je možné vybrať po jednom prvku z konečného systému konečných množín, prečo by nebolo možné previesť to isté s nekonečným systémom nekonečných množín? Keď toto intuitívne obdobie pominulo, objavili sa pokusy existenciu výberovej množiny vo všeobecnom prípade nekonečného systému nekonečných množín dokázať, tie však neuspeli“ kedykoľvek bol takýto „dôkaz“ uskutočnený, ukázalo sa, že bol použitý predpoklad, ktorý v sebe existenciu tejto množiny obsahoval. Východisko bolo objavené začiatkom 20. storočia v axióme, ktorá existenciu výberovej množiny postuluje a pre ktorú sa ujal názov axióma výberu.

Ku každému neprázdnemu systému navzájom disjunktívnych neprázdnych množín existuje množina, ktorá má práve jeden spoločný prvok s každou z daných množín.

Táto axióma je na prvý pohľad takmer triviálna: umožňuje len zostrojiť množinu tak, že z každej množiny disjunktného systému vyberieme jeden prvok. Napriek tomu však bola už v čase svojho vzniku predmetom mnohých diskusií a sporov, pretože sa ukázalo, že vedie k veľmi paradoxným dôsledkom.

Jedným z najznámejších a pritom najpodivuhodnejších je preslávený paradox Banachov-Tarského. Títo poľskí matematici užitím axiómy výberu dokázali, že je možné rozložiť guľu na štyri rovnaké časti tak, že z dvoch týchto častí je možné opäť zostrojiť pôvodnú guľu!

Pokiaľ zostrojíme i zo zvyšných dvoch častí pôvodnú guľu, dostaneme tak z pôvodnej gule dve nové, zhodné s pôvodnou! Je však nutné ešte povedať, že i keď vedie k takým paradoxným výsledkom, ešte nikdy neviedla táto axióma ku sporu.

Odporúčané odkazy:
– filozof Jean Buridan vo Wikipédii (SK) a Wikipédii (CZ), a zmienka o známom scholastickom paradoxe pomenovanom po ňom na odkaze Buridanův osel
– rozhovor s docentom Emilom Caldom na stránke Metodického portálu www.rvp.cz

Redakčná poznámka:
Pokiaľ sa vám matematický znak matematický symbol zobrazuje (podľa obrázka zápis s matematickým symbolom) ako otáznik (alebo inak chybne) v zápise Ax = {x + aa ∈ Q}, používate zastaralý prehliadač. Zobrazovanie matematických symbolov si môžete overiť na stránke W3Schools.

Chcete sa vyjadriť? Využite diskusné fórum.

doc. RNDr. Emil Calda, CSc.
– absolvent MFF UK, 1958 – 73 učiteľ na gymnáziu v Prahe, od roku 1973 člen KDM (RNDr. – 1975, CSc. – 1985, docent – 1989)
– v súčasnosti je externým členom na katedre didaktiky matematiky Matematicko-fyzikálnej fakulty Karlovej univerzity v Prahe
– autor mnohých publikácií a učebníc pre stredné a vysoké školy
– je autorom poetickej zbierky Úvod do všeobecnej teórie priestoru vydanej vydavateľstvom Karolinum v roku 2003; pretože už je rozobraná, vydalo jej podstatnú časť v roku 2009 vydavateľstvo Prometheus pod názvom Poetické priestory

Činnosť mimo katedru:
– člen redakčnej rady Rozhľadov matematicko-fyzikálnych
– člen redakčnej rady štvrťročníka Kukátko (periodikum v mieste bydliska)
– prednášky pre učiteľov matematiky SŠ v rámci Národného inštitútu pre ďalšie vzdelávanie
– výuka matematiky na VŠMIE (Vysoká škola manažérskej informatiky a ekonomiky)
– jogging – 24 účastí na Běchoviciach (najlepší v roku 1980 za 44:23,8 min.), 30 účastí na Veľkej Kunratickej (najlepší v roku 1979 za 16:31,9 min.); za účasť v maratónských behoch získal titul HgS (Ortuťový starček)
– viac sa o ňom dozviete z jeho životopisu
Čerpané z: ROZHLEDY, matematicko-fyzikální, ročník 65, 1986/87, číslo 1, september (září), strany 13 – 15

Súvisiace články:
Základy patamatematiky (03.08.2011)

Emil Calda, 17. 07. 2011 | Prečítané: 5576 | Rubrika: Rubrika pána Rubika

Webhouse.sk

Webhouse

Odporúčame najlepší webhosting a domény za super ceny!

Iné médiá
Zbierka na ochranu humanistov vo svete
Humanists International crowd-funds for persecuted humanists
Pomôžte humanistom vo svete! Mnohí čelia prenasledovaniu, mučeniu a trestu smrti za svoje presvedčenie. Pozri: Zbierka na ochranu humanistov vo svete.
Voliči, pozor na Kisku!
Keď klamal v minulosti, bude klamať aj v budúcnosti. Pozri: Kiska povedal: „Nezaložím stranu.“ a Kiska je hanba Slovenska.
Etická výchova
Ako by mala vyzerať etická výchova — alternatíva nábo­ženskej výchovy pre deti bez vyznania? Aký je váš názor?
Nové vo fóre
Brajti
The Brights
K teórii a praxi humanistickej výchovy
K teórii a praxi humanistickej výchovy
Kniha
Sumeri
Dobré knihy
Kniha Zakázané ovocie – Etika humanizmuKniha Nemnožme sa!Thomas Paine – Vek rozumu
Sčítanie ľudí bez náboženského vyznania
Atheist Census
Podporte útulok pre zvieratká
Podporte útulok pre zvieratká v Humennom
Anketa Strom roka
Vytvorené v redakčnom systéme phpRS © Jiří Lukáš | RSS | Návrat hore